Repetition, komplexa tal ...

 complex.pdf

Räkneregler för komplexa tal

Definitioner

Ett vanligt, reellt tal a brukar man åskådliggöra som en punkt på den s.k. tallinjen. Talets storlek representeras av avståndet från punkten ifråga till tallinjens nollpunkt.

Ett komplext tal z består av två komponenter. Det kan skrivas a+ jb. Här är a och b reella tal. j är roten ur -1 och kallas den imaginära enheten. a är det komplexa talets realdel Re(z). b är dess imaginärdel, Im(z).

Varje komplext tal kan åskådliggöras som en punkt i ett tvådimensionellt koordinatsystem, det komplexa talplanet.

Talet z representeras av en punkt med koordinaterna a och b.

Avståndet från talpunkten till origo representerar talets belopp eller talvärde |z|. För detta gäller

eller generellt

Vinkeln α kallas argumentet för z, arg(z) och som framgår av figuren gäller

Generellt gäller

Vi kan också uttrycka z i polär form, dvs i |z| och α. Så som framgår direkt av figuren gäller

Man kan då tänka sig att det är förbindelselinjen mellan talpunkten och origo som representerar talet. Vi kan se denna som en visare med längden |z| och en riktning som definieras av vinkeln α.

Räkneregler

Komplexa tal kan behandlas algebraiskt, varvid följande regler gäller.

Addition

Figuren visar vad additionen innebär i det komplexatalplanet. Visaren för z blir lika med den geometriska summan av visarna för z1 och z2. För |z| och arg(z) gäller de tidigare angivna generella uttrycken.

Subraktion

I talplanet blir visaren för z lika med den geometriska skillnaden mellan visarna för z1 och z2.

Multiplikation

Multiplikationsregeln demonstrerar vi enklast med ett exempel.

Multiplikationen kan också genomföras med talen uttryckta i polär form.

Detta innebär att

Division

Algebraiskt genomförs divisionen så här:

Nu vill man ofta ha resultatet i formen a+jb och i så fall förlänger man med nämnarens konjugatkvantitet a2 - jb2. Då får man

Uttrycks talen i polär form kommer divisionsregeln att se ut så här:

Några minnesregler

  1. Om z = z1 + z2, så är i allmänhet |z| ≠ |z1| + |z2|
    ( endast om arg(z1) = arg(z2) är |z| = |z1| + |z2| )

  2. När man skall bilda beloppet av en produkt eller en kvot mellan två komplexa tal z1 och z2 är det i allmänhet onödigt att först ta fram det komplexa resultatet och sedan bilda beloppet av detta. Man beräknar istället |z1| och |z2| var för sig, ty som vi sett gäller

Exempel

Exempel 1

Gör om uttrycket 2 + 3/j till formen a+jb.

Exempel 2

Skriv uttrycket z = 6 + jA + 1/(jB) i allmän form för komplexa tal, samt teckna beloppet av uttrycket.

Exempel 3

Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = j och z2 = -1 -j

Algebraiskt

Polärt

Exempel 4

z1 = 3 + j5, z2 = 5 + j7. Beräkna

Om man istället hade multiplicerat med konjugatkvantiteten hade man fått

Om man jämför med ovanstående ser man att komplexkonjugeringen medför mycket mera arbete!

Övningsuppgifter

Fråga 1

Åt vilket håll pekar visaren z = -2 + j2 ?

[ Svar ]

Fråga 2

Vad är summan av z1 och z2 om z1 = 1 + j2 och z2 = 2 - j ?

[ Svar ]

Fråga 3

Hur lång är visaren 3 + j4 ?

[ Svar ]

Fråga 4

Rita visaren z = z1 - z2 om z1 = 1 + j och z2 = 2 + j ?

[ Svar ]

Fråga 5

Hur stor blir Im(z) om z = z1 + z2 ?
z1 = 3(1+j) och z2 = 2(1-j) .

[ Svar ]

Fråga 6

Hur stor blir |z| om z = z1·z2 ?
z1 = 2 + j och z2 = -(2 + j) .

[ Svar ]

Fråga 7

Vad blir |3+j4|· |j2| ?

[ Svar ]

Fråga 8

Bestäm |z| och arg(z) om z = z1·z2 och z1 = 1 + j och z2 = -1 + j .

[ Svar ]

Fråga 9

Vad blir z = z1·z2 om z1 = j och z2 = 1 - j .

[ Svar ]

Fråga 10

Vad är |z| ?

[ Svar ]

Fråga 11

Beräkna z.
z1 = 2 + j3 och z2 = 1 + j .

[ Svar ] [ Tillbaka ]

Detta övningshäfte har jag fått av Per-Erik Lindahl. Det har använts som introduktion till växelströmsberäkningar i ellära.

© William Sandqvist    william@kth.se